题目内容

如图所示,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.
(1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标;
(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值;
(3)若PB的中点为M,求证:平面AMC⊥平面PBC.
(1)如图所示,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz.
∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,
∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0),
由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,
∴∠PAD=60°.
在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2,
∴P(0,0,2).
(2)∵=(2,0,-2),
=(-2,-3,0),
∴cos<,>=
=-,
所以PA与BC所成角的余弦值为
(3)证明:∵M为PB的中点,
∴点M的坐标为(1,2,),
∴=(-1,2,),=(1,1,),
=(2,4,-2),
∵·=(-1)×2+2×4+×(-2)=0,
·=1×2+1×4+×(-2)=0,
∴⊥,⊥,∴PB⊥平面AMC
∵PB?平面PBC
∴平面AMC⊥平面PBC .  
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