题目内容
【题目】已知椭圆方程(
)的离心率为
, 短轴长为2.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 直线(
)与
轴的交点为
(点
不在椭圆外), 且与椭圆交于两个不同的点
. 若线段
的中垂线恰好经过椭圆的下端点
, 且与线段
交于点
, 求
面积的最大值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】
利用椭圆方程
(
)的离心率为
,短轴长为
,求出
,即可求得椭圆的标准方程
求出线段
的中点
的坐标,表示出
的面积,运用导数求出最值
(1) , 因此椭圆的标准方程为
.
(2) 易得点的坐标为
, 点
的坐标为
. 设
,
的坐标分别为
,
.
联立, 得
, 从而
.
易知线段的中点
的横坐标为
,
纵坐标为.
因此, 点的坐标为
.
由题意知: , 即
, 从而
.
因为直线与椭圆有两个不同的交点, 所以, 即
. 从而有
, 即
. 又知
, 因此
. 由点
不在椭圆之外知,
. 综上知,
.
故线段的长度可表示为
, 点
到线段
的距离可表示为
. 进而
的面积可表示为
令, 则
, 即
在
上单调递增.
从而,所以
面积的最大值为
.
注: 的面积也可用
表示为
(
),
关于
单调递增, 从而
, 所以
,
所以面积的最大值为
.
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