Question

【题目】设函数f（x）=a（x﹣1）． （Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；
（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证： ．

Answer 1

【答案】解：（ I）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x 当x≤﹣1时，得1﹣x﹣x﹣1≥3xx≤0，∴x≤﹣1
当﹣1＜x＜1时，得1﹣x+x+1≥3x ，∴
当x≥1时，得x﹣1+x+1≥3xx≤0，与x≥1矛盾
综上得原不等式的解集为 =
（II）证明：|f（x2）+x|=|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|
∵|a|≤1，|x|≤1
∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|
=
当 时取“=”，得证
【解析】（Ⅰ）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x，分类讨论，即可解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|，即可证明： ．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．