Question

5．在Rt△ABC中，斜边BC长为5，另两直角边AB，AC满足AB≥3，AC≤3，则AB+AC的最大值是7．

Answer 1

分析 如图所示，设B（x，0），C（0，y），则x²+y²=25，5＞x≥3，0＜y≤3．令x=5cosθ，y=5sinθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，且$0＜sinθ≤\frac{3}{5}$．利用单调性可得$sin（θ+\frac{π}{4}）$≤$sin（arcsin\frac{3}{5}+\frac{π}{4}）$．即可得出x+y=5cosθ+5sinθ=5$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$的最大值．

解答 解：如图所示，
设B（x，0），C（0，y），
则x²+y²=25，5＞x≥3，0＜y≤3．
令x=5cosθ，y=5sinθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，且$0＜sinθ≤\frac{3}{5}$．
∴$sin（θ+\frac{π}{4}）$≤$sin（arcsin\frac{3}{5}+\frac{π}{4}）$=$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∴x+y=5cosθ+5sinθ
=5$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$$≤5\sqrt{2}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=7，
故答案为：7．

点评 本题考查了勾股定理、三角函数的单调性与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．