Question

等比数列{a_n}中，已知对任意自然数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=（　　）

• A．（2ⁿ-1）²
• B．

  1

  3

  (2n-1)
• C．4ⁿ-1
• D．

  1

  3

  (4n-1)

Answer 1

分析：由于S_n=a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，则可得a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1可求a_n，然后由等比数列的性质可知数列{an2}是以q²为公比，以a12为首项的等比数列，利用等比数列的求和公式可求a12+a22+…+an2

解答：解：设等比数列的公比为q，则由等比数列的性质可知数列{an2}是以q²为公比的等比数列
S_n=a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1
∵a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1适合n=1
∴an=2n-1，
则由等比数列的性质可知数列{an2}是以q²=4为公比，以1为首项的等比数列
∴a12+a22+…+an2=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

故选D

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，等比数列的性质的应用，等比数列的求和公式的应用