Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F．
（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；
（Ⅱ）证明：AC²+BF•BM=AB²．

Answer 1

分析：（I）利用圆的性质即可得出∠AMB=90°，再利用四点共圆的判定定理即可得出；
（2）连接AC，BC．由A、E、F、M四点共圆，利用切割线定理可得BF•BM=BE•BA．连接AC，BC．则∠ACB=90°．又CD⊥AB．利用射影定理可得AC²=AE•AB．相加即可得出．

解答：证明：（I）如图所示．
连接AM，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°．
∴∠AMB+∠AEF=180°，
∴A、E、F、M四点共圆；
（II）连接AC，BC．
由A、E、F、M四点共圆，∴BF•BM=BE•BA．
连接AC，BC．则∠ACB=90°．
又CD⊥AB．
∴AC²=AE•AB．
∴AC²+BF•BM=AE•AB+BE•AB=AB²．

点评：熟练掌握圆的性质、四点共圆的判定定理、切割线定理、射影定理等是解题的关键．