题目内容
【题目】如图所示,在几何体中,
是等边三角形,
平面
,
,且
.
(I)试在线段上确定点
的位置,使
平面
,并证明;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(I)见解析;(II)
【解析】
(I)取为
的中点,连接EM,取
中点
,连接
,
,证明四边形
为平行四边形,得
再证明
平面
即可证明
平面
,则M为所求;(II)以
为原点,以
,
,
所在的直线分别为
轴,
轴,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求平面
和平面
的法向量,利用二面角的向量公式求解即可
(I)当点为
的中点时,
平面
.证明如下:取
中点
,连接
,
,
且
,又
,
,
且
,
四边形
为平行四边形,
.
又平面
,
,
平面
,又CD
面BCD,
平面
平面
,
是等边三角形,
,
又平面平面
,
平面
,
平面
.
(II)由(I)FA,FB,FM两两互相垂直,以为原点,以
,
,
所在的直线分别为
轴,
轴,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设
,则
,
,
,
,
,
.设平面
的法向量为
,
则,即
,解得
,
令,则
,
,由(I)知,平面
的一个法向量为
,
,
二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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