Question

【题目】对于无穷数列{an}，记T={x|x=aj﹣ai，i＜j}，若数列{an}满足：“存在t∈T，使得只要am﹣ak=t（m，k∈N*，m＞k），必有am+1﹣ak+1=t”，则称数列具有性质P（t）．

（1）若数列{an}满足 ，判断数列{an}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；

（2）求证：“T是有限集”是“数列{an}具有性质P（0）”的必要不充分条件；

（3）已知{bn}是各项均为正整数的数列，且{bn}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得aN，aN+1，aN+2，…，aN+K，…是等差数列．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.

【解析】

（1）由，可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{an}不具有性质P（2）；同理可判断数列{an}具有性质P（4）；

（2）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{an}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可；

（3）依题意，数列{bn}是各项为正整数的数列，且{bn}既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得bN，bN+1，bN+2，…，bN+k，…是等差数列．

（1）∵，

a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{an}不具有性质P（2）；

同理可得，数列{an}具有性质P（4）．

（2）证明：（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，

T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，

所以不具有性质P（0）；

（必要性）因为数列{an}具有性质P（0），

所以一定存在一组最小的且m＞k，满足am﹣ak=0，即am=ak

由性质P（0）的含义可得am+1=ak+1，am+2=ak+2，…，a2m﹣k﹣1=am﹣1，a2m﹣k=am，…

所以数列{an}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：ak，ak+1，…，am﹣1为一个周期中的各项，

所以数列{an}中最多有m﹣1个不同的项，

所以T最多有个元素，即T是有限集；

（3）证明：因为数列{bn}具有性质P（2），数列{bn}具有性质P（5），

所以存在M′、N′，使得bM'+p﹣bM'=2，bN'+q﹣bN'=5，

其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，

由性质P（2），P（5）的含义可得，bM'+p+k﹣bM'+k=2，bN'+q+k﹣bN'+k=5，

若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得bN'+p﹣bN'=2；

若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得bM'+q﹣bM'=5．

记M=max{M'，N'}，则对于bM，有bM+p﹣bM=2，bM+q﹣bM=5，显然p≠q，

由性质P（2），P（5）的含义可得，bM+p+k﹣bM+k=2，bN+q+k﹣bN+k=5，

所以bM+qp﹣bM=（bM+qp﹣bM+（q﹣1）p）+（bM+（q﹣1）p﹣bM+（q﹣2）p）

+…+（bM+p﹣bM）=2qbM+qp﹣bM=（bM+pq﹣bM+（p﹣1）q）+

（bM+（p﹣1）q﹣bM+（p﹣2）q）+…+（bM+q﹣bM）=5p

所以bM+qp=bM+2q=bM+5p．

所以2q=5p，

又p，q是满足bM+p﹣bM=2，bM+q﹣bM=5的最小的正整数，

所以q=5，p=2，bM+2﹣bM=2，bM+5﹣bM=5，

所以，bM+2+k﹣bM+k=2，bM+5+k﹣bM+k=5，

所以，bM+2k=bM+2（k﹣1）+2=…=bM+2k，bM+5k=bM+5（k﹣1）+5=…=bM+5k，

取N=M+5，

若k是偶数，则bN+k=bN+k；

若k是奇数，则bN+k=bN+5+（k﹣5）=bN+5+（k﹣5）=bN+5+（k﹣5）=bN+k，

所以，bN+k=bN+k，

所以bN，bN+1，bN+2，…，bN+k，…是公差为1的等差数列