题目内容
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,以
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
;直线
的参数方程为
(t为参数).直线
与曲线
分别交于
两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)若点的极坐标为
,
,求
的值.
【答案】(1)曲线的直角坐标方程为:
, 直线
的普通方程为
.
(2)
【解析】
(1)利用代入法消去参数方程中的参数,可得直线的普通方程,极坐标方程两边同乘以
利用
即可得曲线
的直角坐标方程;(2)直线
的参数方程代入圆
的直角坐标方程,根据直线参数方程的几何意义,利用韦达定理可得结果.
(1)由,得
,
所以曲线的直角坐标方程为
,
即, 直线
的普通方程为
.
(2)将直线的参数方程
代入
并化简、整理,
得. 因为直线
与曲线
交于
,
两点。
所以,解得
.
由根与系数的关系,得,
.
因为点的直角坐标为
,在直线
上.所以
,
解得,此时满足
.且
,故
..
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