Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2．
（1）证明：BC⊥AMN；
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由．
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）要证线与面垂直，只要证明线与面上的两条相交线垂直，找面上的两条线，根据四边形是一个菱形，从菱形出发找到一条，再从PA⊥平面ABCD，得到结论．
（2）对于这种是否存在的问题，首先要观察出结论，再进行证明，根据线面平行的判定定理，利用中位线确定线与线平行，得到结论．
（3）过A作AE垂直PD于E，作CF垂直PD于F，则二面角A-PD-C的夹角即为AE，CF的夹角，代入异面直线上两点之间的距离公式，构造关于θ的三角方程，即可求出二面角A-PD-C的正切值．

解答：证明：（1）∵ABCD为菱形，
∴AB=BC
又∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，
又M为BC中点，∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
解：（2）存在点E，使得MN∥面ACE，理由如下：
取PD中点E，连接NE，EC，AE，
∵N，E分别为PA，PD中点，
∴NE

∥ .

.

1

2

AD
又在菱形ABCD中，CM

∥ .

.

1

2

AD
∴NE

∥ .

.

MC，即MCEN是平行四边形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，
此时 PE=

1

2

PD=

2

．
（3）过A作AE垂直PD于E，作CF垂直PD于F，
则AE=

2

，CF=

14

2

，EF=

2

2

，AC=2
设二面角A-PD-C的平面角为θ
则AC=

AE2+CF2+EF2-2•AE•CF•cosθ

=2
则cosθ=

7

7

则tanθ=

6

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，空间中直线与平面之间的位置关系，是一个非常适合作为高考题目出现的问题，题目包含的知识点比较全面，重点突出，是一个好题．