Question

【题目】过直线x=﹣2上的动点P作抛物线y2=4x的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）若切线PA，PB的斜率分别为k1 ， k2 ， 求证：k1k2为定值；
（2）求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

【答案】
（1）证明：不妨设 ，B （t1＞0，t2＞0），P（﹣2，m）．

由y2=4x，当y＞0时， ， ，

∴ ．

同理k2= ．

由 = ，得 =0．

同理 ﹣mt2﹣2=0．

∴t1，t2是方程t2﹣mt﹣2=0的两个实数根，

∴t1t2=﹣2，

∴k1k2= =﹣ 为定值

（2）证明：直线AB的方程为y﹣2t1= ．

即 +2t1﹣ ，

即 ，由于t1t2=﹣2，

∴直线方程化为 ，

∴直线AB恒过定点（2，0）

【解析】（1）不妨设 ，B （t1＞0，t2＞0），P（﹣2，m）．由y2=4x，当y＞0时， ， ，可得 ．同理k2= ．利用斜率计算公式可得k1= ，得 =0．同理 ﹣mt2﹣2=0．t1 ， t2是方程t2﹣mt﹣2=0的两个实数根，即可得出k1k2= 为定值．（2）直线AB的方程为y﹣2t1= ．化为 ，由于t1t2=﹣2，可得直线方程 ．