题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)当时,求证:函数
有两个不相等的零点
,
,且
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)讨论函数单调区间即解导数大于零求得增区间,导数小于零求得减区间(2)函数有两个不同的零点,先分析函数单调性得零点所在的区间, 在
上单调递增,在
上单调递减.∵
,
,
,∴函数
有两个不同的零点,且一个在
内,另一个在
内.
不妨设,
,要证
,即证
,
在
上是增函数,故
,且
,即证
. 由
,得
,
令
,
,得
在
上单调递减,∴
,且∴
,
,∴
,即∴
,故
得证
解析:(1)当时,
,得
,
令,得
或
.
当时,
,
,所以
,故
在
上单调递减;
当时,
,
,所以
,故
在
上单调递增;
当时,
,
,所以
,故
在
上单调递减;
所以在
,
上单调递减,在
上单调递增.
(2)证明:由题意得,其中
,
由得
,由
得
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
∵,
,
,
∴函数有两个不同的零点,且一个在
内,另一个在
内.
不妨设,
,
要证,即证
,
因为,且
在
上是增函数,
所以,且
,即证
.
由,得
,
令
,
,
则
.
∵,∴
,
,
∴时,
,即
在
上单调递减,
∴,且∴
,
,
∴,即∴
,故
得证.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知曲线的参数方程为
(
为参数).以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,设直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线和直线
的普通方程;
(2)设为曲线
上任意一点,求点
到直线
的距离的最值.
【答案】(1),
;(2)最大值为
,最小值为
【解析】试题分析:(1)根据参数方程和极坐标化普通方程化法即易得结论的普通方程为
;直线
的普通方程为
.(2)求点到线距离问题可借助参数方程,利用三角函数最值法求解即可故设
,
.即可得出最值
解析:(1)根据题意,由,得
,
,
由,得
,
故的普通方程为
;
由及
,
得
,
故直线的普通方程为
.
(2)由于为曲线
上任意一点,设
,
由点到直线的距离公式得,点到直线
的距离为
.
∵
,
∴
,即
,
故点到直线
的距离的最大值为
,最小值为
.
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