Question

【题目】【2018届西藏拉萨市高三第一次模拟考试（期末）】如图，四棱锥底面为等腰梯形， 且，点为中点．

（1）证明： 平面；

（2）若平面， ，直线与平面所成角的正切值为，求四棱锥的体积．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】试题分析：(1)证明线面平行可利用线面平行的判定定理，利用三角形的中位线定理可以得出线线平行，进而得出线面平行；（2）根据底面ABCD为等腰梯形，作AG垂直BC，垂足为G，求出BG和AG，得出AB，便可求出底面的面积，根据PA与平面ABCD垂直，则为直线直线与平面所成角，利用其正切值求出PA，再根据锥体体积公式求出体积 .

试题解析：

（1）取中点，连接、．

由于为中位线，所以，

又平面， 平面，所以平面．

由于且，

则 ，所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面， 面，所以平面．

因为平面， 平面， ， ， 平面，

所以平面平面．

又平面，所以平面．

解：（2）作于点，则．

在中， ， ，则， ．　

由平面知，直线与平面所成角为，故，

即在中，有，则.

所以，四棱锥的体积 ．