题目内容
【题目】在正方体
中，
，
分别为
，
的中点
（1）求证：
面
；
（2）在棱
上是否存在一点
，使得
面
，若存在，试确定
的值，若不存在说明理由；
（3）在（2）的条件下，求面与面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）存在，
（3）
【解析】
(1) 取AB中点N，连接A1N，FN，可证得AE垂直于A1N，而A1NFD是平行四边形，可得到AE垂直于
，再由A1D1 AE可得到线面垂直；（2）取A1B1中点G，取GB1中点M，连接GB，ME，MC1,通过证明线线平行即
ME可得到线面平行；（3）建立坐标系，求得两个面的法向量，先得到余弦值，进而得到二面角的正弦值.
(1)证明：取AB中点N，连接A1N，FN，
在正方体AC1中，AN
FD，所以四边形ANFD为平行四边形，ADFN，
因为A1D1AD，所以A1D1 FN，所以四边形A1NFD1为平行四边形，A1NFD1
在正方形A1B1BA中，RtEBA≌RtNAA1，所以∠EAB=∠NA1A
因为∠A1NA +∠NA1A=90°所以∠A1NA +∠EAB =90°，AEA1N，AE FD1
A1D1面A1B1BA，AE面A1B1BA，所以A1D1 AE，所以AE面A1FD1。
(2) 取A1B1中点G，取GB1中点M，连接GB，ME，MC1,
A1GBN,所以四边形A1GBN为平行四边形，A1NBG
E为B1B的中点，M点为A1B1的四等分点，
所以EM∥BG，EM∥FD1
FD1面C1ME，EM面C1ME，所以D1F//面C1ME,
此时
=
(3)如图分别以AB、AD、AA1为x、y、z轴建立空间坐标系，
则E(2,0,1),C1(2,2,2),M(
,0,2), A1(0,0,2), D1(0,2,2), F(1,2,0)
=(
,2,0) 
=(0,2,1) 
=(0,2,0) 
=(-1,0,2)
设面MEC1的法向量为
=(x,y,z)
得
令y=1,则x=4,z=2, =(4,1,2)
设面
的法向量为
=(x,y,z)
得
y=0令z=1,则x=2, =(2,0,1)
cos<>=
=
=
设面A1FD1与面C1ME所成二面角为θ,则|cosθ|=|cos<>|=
所以sinθ=
=
春雨教育同步作文系列答案【题目】随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在［25,30),[55,60）的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（I）求年龄在［25,30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；
（II）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．
【题目】某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本
（单位：元/
）与上市时间
（单位：10天）的数据如下表：
时间 | 5 | 11 | 25 |
种植成本 | 15 | 10.8 | 15 |
（1）根据上表数据，从下列函数：
，
，
，
中（其中
），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系；
（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
