Question

【题目】在正方体中，，分别为，的中点

（1）求证：面；

（2）在棱上是否存在一点，使得面，若存在，试确定的值，若不存在说明理由；

（3）在（2）的条件下，求面与面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）存在，（3）

【解析】

(1) 取AB中点N，连接A1N，FN，可证得AE垂直于A1N，而A1NFD是平行四边形，可得到AE垂直于，再由A1D1 AE可得到线面垂直；（2）取A1B1中点G，取GB1中点M，连接GB，ME，MC1,通过证明线线平行即ME可得到线面平行；（3）建立坐标系，求得两个面的法向量，先得到余弦值，进而得到二面角的正弦值.

(1)证明：取AB中点N，连接A1N，FN，

在正方体AC1中，ANFD，所以四边形ANFD为平行四边形，ADFN，

因为A1D1AD，所以A1D1 FN，所以四边形A1NFD1为平行四边形，A1NFD1

在正方形A1B1BA中，RtEBA≌RtNAA1，所以∠EAB=∠NA1A

因为∠A1NA +∠NA1A=90°所以∠A1NA +∠EAB =90°，AEA1N，AE FD1

A1D1面A1B1BA，AE面A1B1BA，所以A1D1 AE，所以AE面A1FD1。

(2) 取A1B1中点G，取GB1中点M，连接GB，ME，MC1,

A1GBN,所以四边形A1GBN为平行四边形，A1NBG

E为B1B的中点，M点为A1B1的四等分点，

所以EM∥BG，EM∥FD1

FD1面C1ME，EM面C1ME，所以D1F//面C1ME,

此时=

(3)如图分别以AB、AD、AA1为x、y、z轴建立空间坐标系，

则E(2,0,1),C1(2,2,2),M(,0,2), A1(0,0,2), D1(0,2,2), F(1,2,0)

=(,2,0) =(0,2,1) =(0,2,0) =(-1,0,2)

设面MEC1的法向量为=(x,y,z)

得令y=1,则x=4,z=2, =(4,1,2)

设面的法向量为=(x,y,z)

得y=0令z=1,则x=2, =(2,0,1)

cos<>===

设面A1FD1与面C1ME所成二面角为θ,则|cosθ|=|cos<>|=

所以sinθ==