Question

10．已知a₁=a₂=1，a_n•a_n-2=a_n-1²+2，求a_n．

Answer 1

分析 通过a_n•a_n-2=a_n-1²+2可知a_n+1•a_n-1=a_n²+2、a_n+2•a_n=a_n+1²+2，两式相减、整理得$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$，进而a_n+2=4a_n+1-a_n，通过变形可知一方面数列{a_n+1-$（2+\sqrt{3}）$a_n}是以-1-$\sqrt{3}$为首项、$（2-\sqrt{3}）$为公比的等比数列，另一方面数列{a_n+1-$（2-\sqrt{3}）$a_n}是以-1+$\sqrt{3}$为首项、$（2+\sqrt{3}）$为公比的等比数列，进而作差、计算即得结论．

解答 解：∵a₁=a₂=1，
∴a₃=$\frac{2+{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{1}}$=3，
∵a_n•a_n-2=a_n-1²+2，
∴a_n+1•a_n-1=a_n²+2，a_n+2•a_n=a_n+1²+2，
两式相减得：a_n+2•a_n-a_n+1•a_n-1=a_n+1²-a_n²，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{{a}_{3}+{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{3+1}{1}$=4，
∴数列{$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$}是以4为首项、1为公比的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=4，
∴a_n+2=4a_n+1-a_n，
∴a_n+2-$（2+\sqrt{3}）$a_n+1=$（2-\sqrt{3}）$[a_n+1-$（2+\sqrt{3}）$a_n]，
又∵a₁=a₂=1，
∴a₂-$（2+\sqrt{3}）$a₁=-1-$\sqrt{3}$，
∴数列{a_n+1-$（2+\sqrt{3}）$a_n}是以-1-$\sqrt{3}$为首项、$（2-\sqrt{3}）$为公比的等比数列，
∴a_n+1-$（2+\sqrt{3}）$a_n=（-1-$\sqrt{3}$）•$（2-\sqrt{3}）^{n-1}$，①
同理a_n+2-$（2-\sqrt{3}）$a_n+1=$（2+\sqrt{3}）$[a_n+1-$（2-\sqrt{3}）$a_n]，
∴a_n+1-$（2-\sqrt{3}）$a_n=（-1+$\sqrt{3}$）$（2+\sqrt{3}）^{n-1}$，②
①-②：-2$\sqrt{3}$a_n=（-1-$\sqrt{3}$）•$（2-\sqrt{3}）^{n-1}$-（-1+$\sqrt{3}$）$（2+\sqrt{3}）^{n-1}$，
∴a_n=$\frac{1}{-2\sqrt{3}}$[（-1-$\sqrt{3}$）•$（2-\sqrt{3}）^{n-1}$-（-1+$\sqrt{3}$）$（2+\sqrt{3}）^{n-1}$]
=$\frac{1}{6}$[（3+$\sqrt{3}$）•$（2-\sqrt{3}）^{n-1}$+（3-$\sqrt{3}$）$（2+\sqrt{3}）^{n-1}$]．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．