Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，且S₄=2S₂+8．
（Ⅰ）求公差d的值；
（理）（Ⅱ）若a₁=1，T_n是数列{

1

anan+1

}的前n项和，不等式Tn≥

1

18

(m2-5m)对所有的n∈N^*恒成立，求正整数m的最大值．
（文）（Ⅱ）若a₁=1，求数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于S₄=2S₂+8，可得4a₁+6d=2（2a₁+d）+8，化简得d．
（理）（II）由a₁=1，d=2，可得a_n=2n-1．裂项

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)≥

1

3

，又不等式Tn≥

1

18

(m2-5m)对所有的n∈N^*恒成立，可得

1

3

≥

1

18

(m2-5m)，解出即可得出．

解答： 解：（I）∵S₄=2S₂+8，∴4a₁+6d=2（2a₁+d）+8，化简得d=2．
（理）（II）由a₁=1，d=2，∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)≥

1

3

，
又不等式Tn≥

1

18

(m2-5m)对所有的n∈N^*恒成立，
∴

1

3

≥

1

18

(m2-5m)，化为m²-5m-6≤0，解得-1≤m≤6，
∴正整数m的最大值为6．
（文）（II）参考上面（II）即可．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、恒成立问题的等价转化方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．