Question

求函数解析式.?

（1）已知f(+1)=x+2,求f(x)，f(x+1),f(x²);?

（2）已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(x+1)－f(x)=2x,求f(x);?

（3）已知f(x)+2f()=2x+1,求f(x).?

Answer 1

解:(1)令u=+1(x≥0)，则=u－1,即x=(u－1)²(u≥1),

∴f(u)=(u－1)²+2(u－1)=u²－1(u≥1),即f(x)=x²－1(x≥1).?

∴f(x+1)=(x+1)²－1=x²+2x(x≥0),?

f(x²)=x⁴－1(x≤－1或x≥1).?

(2)设f(x)=ax²+bx+c,则f(0)=c=1,?

∴f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+1=(ax²+bx+1)+(2ax+a+b).?

∴f(x+1)－f(x)=2ax+a+b=2x.?

∴即

∴f(x)=x²－x+1.?

(3)∵f(x)+2f()=2x+1,                                                                                      ①

∴以代上式中的x得f()+2f(x)=+1.                                                                ②

∴①－②×2得－3f(x)=2x+1－－2,即f(x)=.?

点评: 本例中（1）题是换元法，注意换元后变量的取值范围；（2）题是待定系数法，对于已知函数特征，如正、反比例函数，一、二次函数等可用此法；（3）题是通过变量替换消去f(),从而求出f(x)的解析式.