Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=BC=1， ，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=1，点M在线段EF上．
（1）当 为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；
（2）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时，AM∥平面BDF．

证明如下：

在梯形ABCD中，设AC∩BD=O，连接FO，

因为AD=BC=1，∠ADC=60°，

所以DC=2，又AB=1，

因为△AOB∽△CDO，

因此CO：AO=2：1，

所以 ，因为ACFE是矩形，

所以四边形AOFM是平行四边形，

所以AM∥OF，

又OF平面BDF，AM平面BDF，

所以AM∥平面BDF

（2）解：在平面ABCD内过点C作GC⊥CD，

因为平面ACFE⊥平面ABCD，且交线为AC，

则CF⊥平面ABCD，即CF⊥GC，CF⊥DC，

以点C为原点，分别以CD，CG，CF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则 ，D（2，0，0）， ，F（0，0，1），

所以 ， ， ， ，

设平面BEF的法向量为 ，则 ，

∴ ，取 ，

同理可得平面DEF的法向量 ，

所以 ，

因为二面角B﹣EF﹣D是锐角，所以其余弦值是 ．

【解析】（1）当 时，设AC∩BD=O，连接FO，推导出四边形AOFM是平行四边形，从而AM∥OF，由此能证明AM∥平面BDF．（2）在平面ABCD内过点C作GC⊥CD，以点C为原点，分别以CD，CG，CF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EF﹣D的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．