Question

【题目】已知函数f（x）=9x﹣2a3x+3：
（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；
（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2 ， n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=9x﹣2a3x+3，

设t=3x，t∈[1，3]，

则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．

当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，

∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，

∴函数f（x）的值域是：[2，6]

（2）解：∵函数φ（t）的对称轴为t=a，

当x∈[﹣1，1]时，t∈[ ，3]，

当a＜ 时，ymin=h（a）=φ（ ）= ﹣ ；

当 ≤a≤3时，ymin=h（a）=φ（a）=3﹣a2；

当a＞3时，ymin=h（a）=φ（3）=12﹣6a．

故h（a）=

（3）解：假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，

∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．

又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，

则 ，

两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）（m+n），

又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．

∴满足题意的m，n不存在

【解析】（1）设t=3x ， 则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2 ， φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜ 时，当 ≤a≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对函数的最值及其几何意义的理解，了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．