Question

【题目】已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前n项和为Sn ， 且满足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；
（1）求证：an+2﹣an是一个定值；
（2）若数列{an}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N* ， 都有an+T=an成立，则称{an}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；
（3）若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn=23n﹣1（n∈N*），问：数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵rSn=anan+1﹣1，①

∴rSn+1=an+1an+2﹣1，②

②﹣①，得：ran+1=an+1（an+2﹣an），

∵an＞0，∴an+2﹣an=r

（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2= ，

根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+ ，a+r，2r+ ，a+2r，3r+ ，…．

当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，

∴r=0时，数列写出数列的前几项：a， ，a， ，…．

所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2

（3）解：因为数列{an}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+ ），

化简2a2﹣ar﹣2=0，a= 是有理数．

设 =k，是一个完全平方数，

则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，an=1，Sn=n．

r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，

其中只有 ，符合要求，

此时a=2，an= ，Sn= ，

∵cn=23n﹣1（n∈N*），an=1时，不符合，舍去．

an= 时，若23n﹣1= ，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k= ，不是整数，

因此数列{cn}中的所有项不都是数列{an}中的项

【解析】（1）由rSn=anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1=an+1（an+2﹣an），由此能够证明an+2﹣an为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2= ，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{an}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+ ），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出Sn ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．