题目内容
【题目】记.
(1)求方程的实数根;
(2)设,
,
均为正整数,且
为最简根式,若存在
,使得
可唯一表示为
的形式
,试求椭圆
的焦点坐标;
(3)已知,是否存在
,使得
成立,若存在,试求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)2(2),
.(3)不存在.见解析
【解析】
(1)根据函数解析式化简方程,求解即可;(2)要求椭圆焦点坐标,应先求
的值,因为
,由二项展开可得
,这里
,
,为了得到
,先得
,相乘得
,再结合条件
,进而可求得
,可得结果;
(3)不存在,使得
成立,即证对任意
,都有
,由条件可得即证在
下,不等式
恒成立.
方法一,当时,不等式恒成立易证;当
,且
时,用二项式定理展开,然后缩小可证不等式恒成立;方法二,用数学归纳法证明;方法三,由已知可设
,由
可得
,将不等式的左边化简为
,利用二项式定理展开缩小可证。
解:(1)由得,
∵,∴
∴,即所求方程的实数根为2.
(2)因为为最简根式,且
,
,
,所以由二项展开可得
,这里
,
,
则.
两式相乘得.
即,
现由,
又依题意得:,便知
,
知由(*)得,即
.
因此,椭圆方程为,
故,其焦点坐标为,
.
(3)不存在.
只须证:对任意,都有
.
证明如下,由
可得,
注意到
,
故亦只须证:在下,
不等式恒成立.
方法一:∵,
,
∴由已知可得从而
.
当时,因
,
,
故成立.
当,且
时,
…
.
综上,对一切
成立.
方法二:∵,
,
∴,从而
,
因此
(i)当时,因
,
,
故成立.
(ii)假设当时,不等式成立,即
那么,当时,注意到
,
,故
,
即成立,这就是说,当
时,不等式
也成立.
综上所述,不等式对一切
成立.
方法三:由已知可设,由
可得
,
注意到,
从而,
,
因此,不等式对一切均
成立.
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