Question

7．已知极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，点A，B的极坐标分别为（2，π），（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线AB与曲线C的相交弦长．

Answer 1

分析 （1）∠AOB=$π-\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，利用三角形面积计算公式即可得出；
（2）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得A，B直角坐标，利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．

解答 解：（1）∵∠AOB=$π-\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×sin\frac{3π}{4}$=1；
（2）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得A（-2，0），B（1，1），
直线AB的方程为：y-0=$\frac{0-1}{-2-1}$（x+2），化为x-3y+2=0．
曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$，化为x²+y²=2．
∴圆心C（0，0）到直线AB的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（-3）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线AB与曲线C的相交弦长l=$2\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程互化的方法、圆的方程、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了 推理能力、计算能力，属于中档题．