题目内容
已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有。
(1)求数列、的通项公式;
(2)令.
①求证:;
②若对任意的,不等式恒成立,试求实数λ的取值范围.
(1)求数列、的通项公式;
(2)令.
①求证:;
②若对任意的,不等式恒成立,试求实数λ的取值范围.
(1),;(2)。
试题分析:(1)根据利用求出数列的递推关系式,再利用累乘法数列的通项公式;(2)利用错位相减法求出,易知,再根据数列的单调性可知;
(3)把代入整理得,然后参变量分离
得,构造函数,求的最大值,或者是直接构造函数
,然后对二次项系数进行讨论,转化为求二次函数最值问题。
(1),
∵,∴ (),
两式相减得,()
∴,即( ),
∴(),
又,也满足上式,故数列的通项公式()。
由,知数列是等比数列,其首项、公比均为,
∴数列的通项公式。
(2)(1)∴ ①
∴ ②
由①-②,得,
∴
又恒正,
故是递增数列,, ∴ 。
又不等式
即,即()恒成立.
方法一:设(),
当时,恒成立,则满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时,由于对称轴,则在上单调递减,
恒成立,则满足条件,
综上所述,实数λ的取值范围是。
方法二:也即()恒成立,
令.则,
由,单调递增且大于0,∴单调递增,
当时,,且,故,∴实数λ的取值范围是。 及累乘法求数列的通项公式;(2)利用错位相减法进行数列求和;(3)数列单调性的判断;(4)构造函数解决不等式恒成立问题。
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