题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,设函数
有最小值
,求
的值域.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先求出,分
和
两种情形,利用导数的符号判断函数的单调性即可.
(2)求出并将其化简为
,构建新函数
,利用(1)的单调性及零点存在定理可得
有唯一的
,它就是函数
最小值点,利用导数可求该最小值的值域.
解:(1)定义域为
,
.
令,①
,
当
时,
,
,
即且不恒为零,故
单调递增区间为
,
,
当
时,
,方程①两根为
,
,
由于,
.
故,
因此当时,
,
单调递增,
,
,
单调递减,
,
,
单调递减,
,
,
单调递增,
综上,当时,
在
单调递增,
单调递增,
当时,
在
单调递增,
,
单调递减;
在单调递增.
(2),
设,
由(1)知,时,
在
单调递增,
由于,
,
故在存在唯一
,使
,
,
又当,
,即
,
单调递减,
,
,即
,
单调递增,
故时,
,
.
又设,
,
,
故单调递增,故
,
即,即
.
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