题目内容
（2013•延庆县一模）A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）设φ（x）=
，x∈[2，4]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么这样的x0是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤
|x2-x1|成立．
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）设φ（x）=
| 3 | 1+x |
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么这样的x0是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤
| Lk-1 |
| 1-L |
分析：（Ⅰ）利用已知条件，通过φ（x）=
，x∈[2，4]，转化不等式，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）利用反证法，推出L≥1，矛盾，什么原命题正确；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，给定正整数k，对任意的正整数p，利用放缩法证明不等式|xk+p-xk|≤
|x2-x1|成立即可．
| 3 | 1+x |
（Ⅱ）利用反证法，推出L≥1，矛盾，什么原命题正确；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，给定正整数k，对任意的正整数p，利用放缩法证明不等式|xk+p-xk|≤
| Lk-1 |
| 1-L |
解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）∈（1，2）；x∈[1，2]，
≤φ（2x）≤
，1＜
≤φ（2x）≤
＜2，所以φ（2x）∈（1，2）；．
对任意的x1，x2∈[1，2]，|?（2x1）-?（2x2）|=|x1-x2|
3＜
+
+
，
所以0＜
＜
，
≤L|x1-x2|，
令
=L，0＜L＜1，
|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|，所以φ（x）∈A．…（5分）
（Ⅱ）反证法：设存在两个x0，x0′∈（1，2），x0≠x0′使得x0′=φ（2x0′），
则由|φ（2x0）-φ（2x0′）|≤L|x0-x0′|，得）|x0-x0′|≤L|x0-x0′|，所以L≥1，矛盾，故结论成立．…（8分）
（Ⅲ）|x3-x2|=|?（2x2）-?（2x1）|≤L|x2-x1|，
所以|xn+1-xn|=|?（2xn）-?（2xn-1|≤L|xn-xn-1|≤L2|xn-1-xn-2|…
≤Ln-1|x2-x1||xk+p-xk|=|（xk+p-xk+p-1）+（xk+p-1-xk+p-2）+…+（xk+1-xk）|
≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|
≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|
=
|x2-x1|≤
|x2-x1|．…（13分）
解：（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）∈（1，2）；x∈[1，2]，
| 3 | 3 |
| 3 | 5 |
| 3 | 3 |
| 3 | 5 |
对任意的x1，x2∈[1，2]，|?（2x1）-?（2x2）|=|x1-x2|
| 2 | |||||||||
|
3＜
| 3 | (1+x1)2 |
| 3 | (1+2x2)(1+x2) |
| 3 | (1+x2)2 |
所以0＜
| 2 | |||||||||
|
| 2 |
| 3 |
≤L|x1-x2|，
令
| 2 | |||||||||
|
|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|，所以φ（x）∈A．…（5分）
（Ⅱ）反证法：设存在两个x0，x0′∈（1，2），x0≠x0′使得x0′=φ（2x0′），
则由|φ（2x0）-φ（2x0′）|≤L|x0-x0′|，得）|x0-x0′|≤L|x0-x0′|，所以L≥1，矛盾，故结论成立．…（8分）
（Ⅲ）|x3-x2|=|?（2x2）-?（2x1）|≤L|x2-x1|，
所以|xn+1-xn|=|?（2xn）-?（2xn-1|≤L|xn-xn-1|≤L2|xn-1-xn-2|…
≤Ln-1|x2-x1||xk+p-xk|=|（xk+p-xk+p-1）+（xk+p-1-xk+p-2）+…+（xk+1-xk）|
≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|
≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|
=
| Lk-1(1-Lp) |
| 1-L |
| Lk-1 |
| 1-L |
点评：本题考查已知条件的应用，反证法以及放缩法证明不等式，考查分析问题与解决问题的综合应用，逻辑推理能力．
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