题目内容

(2013•延庆县一模)空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
PM2.5
日均浓度
0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250
空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级
空气质量类型 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测,获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示:
(Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?(注:不需说明理由)
(Ⅱ)在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率;
(Ⅲ)在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良的天数,求X的分布列及数学期望.
分析:(I)由茎叶图可知:甲城市空气质量一级和二级共有10天,而乙城市空气质量一级和二级只有5天,因此甲城市空气质量总体较好.
(II)由(I)的分析及相互独立事件的概率计算公式即可得出;
(III)利用超几何分布即可得到分布列,再利用数学期望的计算公式即可得出.
解答:解:(Ⅰ)甲城市空气质量总体较好.
(Ⅱ)甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为
10
15
=
2
3

乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为
5
15
=
1
3

在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为
2
3
×
1
3
=
2
9

(Ⅲ)X的取值为0,1,2,
P(X=0)=
C
0
5
C
2
10
C
2
15
=
3
7
P(X=1)=
C
1
5
C
1
10
C
2
15
=
10
21
P(X=0)=
C
2
5
C
0
10
C
2
15
=
2
21

X的分布列为:
X 0 2
P
3
7
10
21
2
21
数学期望EX=0×
3
7
+1×
10
21
+2×
2
21
=
2
3
点评:正确理解茎叶图、相互独立事件的概率计算公式、超几何分布、随机变量的分布列、数学期望的计算公式、排列与组合的计算公式是解题的关键.
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