Question

【题目】已知二次函数y=f（x）满足f（0）=3，且f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在区间[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值g（t）；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，

∵f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣ax2﹣bx﹣c=2ax+a+b=2x﹣1，

∴2a=2，a+b=﹣1，

∴a=1，b=﹣2，

∵f（0）=3

∴c=3，

则f（x）=x2﹣2x+3

（2）解：由（1）得f（x）=x2﹣2x+3，对称轴为x=1，

当﹣2＜t≤4时，g（t）=f（﹣2）=11；，

当t＞4时，g（t）=f（t）=t2﹣2t+3，

∴g（t）= ；

（3）解：由（1）得f（x）=x2﹣2x+3，

则f（x）min=f（1）=2，

∴2m≥2，

∴m≥1，

∴y=f（x）在[m，n]上为增函数，

∴ ，

∴m，n即为方程x2﹣2x+3=2x的两个相异实根，且m＜n，

∴m=1，n=3，

∴存在m=1，n=3满足条件

【解析】（1）先设出二次函数y=f（x）的解析式，利用f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1求得系数a，b的值，再由f（0）=3求得系数c的值，即可求得二次函数的解析式；（2）根据二次函数的对称性对t进行分类讨论求得函数在区间[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值函数g（t）；（3）先判断函数f（x）在[m，n]上为增函数，若满足题设条件的m，n存在则从而求得m，n的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．