题目内容
【题目】如图,在四棱锥
中，四边形
是平行四边形, 
且
, 
, 
平面
.
（1）
为棱
的中点,求证: 
平面
；
（2）求证: 平面
平面
；
（3）若
, 
,求四棱锥
的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
.
【解析】试题分析：（1）由四边形
是平行四边形，可得
为
中点，又
为
中点，由三角形中位数定理可得
，再由线面平行的判定可得
平面
；（2）由
平面
，得
，再由
，可得
平面
,进一步得到平面
平面
；(3)由已知求出四边形
的面积，先求出高
，再由棱锥的体积公式得答案.
试题解析：（1）因为点
为棱
的中点,点
为
的中点,
所以
,又因为
平面
,
所以
平面
.
（2）证明:因为
平面
,又
平面
所以
,又因为
,
所以
平面
,又因为
平面
.
所以平面
平面
.
（3）因为
,又
,
所以四边形
的面积为4，
因为
,点
为
的中点,
所以
.
所以四棱锥
的体积为: 
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理以及棱锥的体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
互动英语系列答案
【题目】调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级，为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：
人员编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（x，y，z） | （1，1，2） | （2，1，1） | （2，2，2） | （0，1，1） | （1，2，1） |
人员编号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
（x，y，z） | （1，2，2） | （1，1，1） | （1，2，2） | （1，0，0） | （1，1，1） |
（1）在这10名被调查者中任取两人，求这两人的居住满意度指标z相同的概率；
（2）从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量ξ=m﹣n，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．
