Question

【题目】已知点P（t，t1），t∈R，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则|PF||PE|的最大值为______

Answer 1

【答案】4

【解析】

结合图象发现两圆位于P点所在直线的不同侧，应先作出圆O：关于直线y=x1对称的圆O1，把|PF||PE|转化为|PF||PE′|，要使|PF||PE′|最大，则必须|PF|最大，|PE′|最小．

∵P（t，t1）∴P点在直线y=x1上，

作E关于直线y=x1的对称点E′，且圆O：关于直线y=x1对称的圆O1方程为：（x1）2+（y+1）2=，

所以E′在圆O1上，∴|PE|=|PE′|，

设圆的圆心为O2，

∴|PE′|≥|PO1||E′O1|，|PF|≤|PO2|+|FO2|，

∴|PF||PE|=|PF||PE′|≤（|PO2|+|FO2|）（|PO1||E′O1|）=|PO2||PO1|+2≤|O1O2|+2=4，

当P、E′、F、O1、O2五点共线，E′在线段PO1上，O2在线段PF上时成立．

因此，|PF||PE|的最大值为4．

故答案为4．