Question

【题目】已知函数f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，a∈R

（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；

（2）求g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程；

（3）若在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）最大值，最小值．（2）；（3）．

【解析】

(1)求出导函数，明确函数的单调性，即可得到f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；

(2)利用导数的几何意义可得切线斜率g′（1）=a，结合点斜式得到切线方程；

(3)求出导函数f′（x）=．对a分类讨论，明确函数的单调性，求出函数的最值即可得到实数a的取值范围．

（1）当a=1时，，=．

对于x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递增．

∴f（x）max=f（e）=，．

（2）g（x）=，g（1）=．

g′（x）=（2a-1）x-a+，g′（1）=a．

∴g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程是=a（x-1），即；

（3）函数f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，

f′（x）==，x >1，

（i）当a时，恒有f′（x）＜0，

∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．

要满足在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，则f（1）=-a-≤0即可，解得．

∴实数a的取值范围是．

（ii）当a时，令f′（x）=0，解得x1=1，．

①当1=x1＜x2时，即时，在区间（x2，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）在此区间上单调递增，不合题意，应舍去．

②当x2≤x1=1时，即a≥1，在区间（1，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，不合题意．

综上（i）（ii）可知：实数a的取值范围是．