Question

11．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）与g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），其中f（x）是偶函数．
（1）求实数k的值及f（x）的值域；
（2）求函数g（x）的定义域；
（3）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值，化简函数，即可求出f（x）的值域；
（2）当a•2^x-$\frac{4}{3}$a＞0时，函数解析式有意义，分类讨论，即可求函数g（x）的定义域；
（3）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．

解答 解：（1）由函数f（x）是偶函数可知f（x）=f（-x），
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx，
∴log₄$\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{-x}+1}$=-2kx，即x=-2kx对一切x∈R恒成立，
∴k=-$\frac{1}{2}$．
f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（2^-x+1）≥log₄1=0
∴f（x）的值域是[0，+∞）--------------------------------------------------------------（4分）
（2）当a•2^x-$\frac{4}{3}$a＞0时，函数解析式有意义
当a＞0时，2^x＞$\frac{4}{3}$，得x＞log₂$\frac{4}{3}$；
当a＜0时，2^x＜$\frac{4}{3}$，得x＜log₂$\frac{4}{3}$．----------------------------------------（5分）
综上，当a＞0时，定义域为{x|x＞log₂$\frac{4}{3}$}；
当a＜0时，定义域为{x|x＜log₂$\frac{4}{3}$}；---------------------------------（6分）
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）有且只有一个实根，
即方程2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=a•2^x-$\frac{4}{3}$a，有且只有一个实根，------------------------------------（7分）
令t=2^x＞0，则方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}$a-1=0有且只有一个正根，
①当a=1时，t=-$\frac{3}{4}$，不合题意；
②当a≠1时，由△=0得a=$\frac{3}{4}$或-3，
若a=$\frac{3}{4}$，则t=-2不合题意；
若a=-3，则t=$\frac{1}{2}$满足要求；----------------------------------------（8分）
若△＞0，则此时方程应有一个正根与一个负根，
∴$\frac{-1}{a-1}$＜0，∴a＞1，又△＞0得a＜-3或a＞$\frac{3}{4}$，∴a＞1．-----------------------（9分）
综上，实数a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．----------------------------------------（10分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．