题目内容
【题目】已知f(x)=
,其中
=(2cosx,﹣
sin2x),
=(cosx,1),x∈R.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=﹣1,a= ,且向量
=(3,sinB)与
=(2,sinC)共线,求边长b和c的值.
【答案】
(1)解:由题意知 .
∵y=cosx在a2上单调递减,∴令 ,得
∴f(x)的单调递减区间 ,
(2)∵ ,∴
,又
,∴
,即
,
∵ ,由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc=7
因为向量 与
共线,所以2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c.
∴b=3,c=2.
【解析】(1)通过向量的坐标运算表示出f(x),使用二倍角公式,辅助角公式可得到f(x)=1 + 2 c o s ( 2 x + ),结合余弦函数的图象和性质可找到f(x)的单调递减区间,(2)根据f(A)=-1,可解得A的值,通过余弦定理可得到(b+c)2﹣3bc=7,由向量共线坐标的关系可得出2sinB=3sinC,通过正弦定理进行边角互化可得出2b=3c,从而可解得b和c的值.
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义和余弦定理的定义,需要了解正弦定理:;余弦定理:
;
;
才能得出正确答案.
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