Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是A1B1、A1A的中点．

（1）求 的长；
（2）求cos（ ）的值；
（3）求证A1B⊥C1M．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．

依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），

∴

（2）解：依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）．

∴ ， ， ， ，

∴cos＜

（3）证明：依题意得C1（0，0，2），M =（﹣1，1，﹣2）， = ，

∴ = ，

∴

【解析】由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于BCA=90°，我们可以以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．（1）求出B点N点坐标，代入空间两点距离公式，即可得到答案；（2）分别求出向量 ， 的坐标，然后代入两个向量夹角余弦公式，即可得到 ， ＞的值；（3）我们求出向量 ， 的坐标，然后代入向量数量积公式，判定两个向量的数量积是否为0，若成立，则表明A1B⊥C1M
【考点精析】关于本题考查的异面直线及其所成的角，需要了解异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能得出正确答案．