Question

2．已知函数f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x）．若在（a，b）上，f″（x）＞0，则称函数在上为“凹函数”．若函数f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2是R上的“凹函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线方程；
（2）求出f（x）的导数，再求导数，由题意可得二阶导数大于0恒成立，由参数分离和构造函数求得最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-e^x+2的导数为
f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-e^x，
即有曲线y=f（x）在x=0处的切线斜率为k=-1，
切点为（0，1），
则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=-x+1；
（2）函数f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2的导数为
f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-ae^x，
f″（x）=-x+2-ae^x．
由函数f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2是R上的“凹函数”，
可得f″（x）＞0恒成立，
即有a＜$\frac{2-x}{{e}^{x}}$的最小值，
由函数y=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$的导数为y′=$\frac{x-3}{{e}^{x}}$，
当x＞3时，函数的导数大于0，函数递增；
当x＜3时，喊话说的导数小于0，函数递减．
即有x=3处，函数y取得最小值，且为-e^-3．
则a＜-e^-3．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查新定义的理解和运用，同时考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．