Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知，若直线于点，点是直线上的一动点，是线段的中点，且，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点作直线交于点，交轴于点，过作直线，交于点.试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】分析：（1）由题意设出点的坐标，结合平面向量数量积的坐标运算可得点的轨迹E的方程为 ．

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为 ，与椭圆方程联立可得，由直线平行的充要条件可得的方程为，与椭圆方程联立计算可得，，，则为定值2.

详解：（1）设，由题意得 ，

所以，　　

所以，化简得，

所以所求点的轨迹E的方程为 ．

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为 ，

令，得，即．

由　解得，即，

因为，所以的方程为，

由　解得，　 　

所以，，，

所以＝2．