题目内容
8.在△ABC中,若|$\overrightarrow{AB}$|=1,|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$,|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|,$\frac{2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=1.分析 利用|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|可知∠A=90°,进而计算可得结论.
解答 解:∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|,
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$=${\overrightarrow{BC}}^{2}$=$(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$,
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0,即∠A=90°,
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=1,|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$,
∴$|\overrightarrow{BC}|$=$\sqrt{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}$=2,
∴cos∠B=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{2|\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}|•cos∠B}{|\overrightarrow{BC}|}$=2$•\frac{1}{2}•$|$\overrightarrow{BA}$|=1,
故答案为:1.
点评 本题考查平面向量数量积的运算,找出∠A=90°是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于基础题.
A. | {x|2<x<3} | B. | {x|-3<x<-2} | C. | {x|$\frac{1}{3}$<x$<\frac{1}{2}$} | D. | {x|-$\frac{1}{2}$<x$<-\frac{1}{3}$} |