题目内容
15．已知a＞0且a≠1，用比较法证明：an$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）．分析 通过作差、变形可知（an$+\frac{1}{{a}^{n}}$）-（a+$\frac{1}{a}$）=（an-a）•$\frac{{a}^{n+1}-1}{{a}^{n+1}}$，分0＜a＜1、a＞1两种情况讨论，定号即得结论．
解答 证明：（an$+\frac{1}{{a}^{n}}$）-（a+$\frac{1}{a}$）=（an-a）+（$\frac{1}{{a}^{n}}$-$\frac{1}{a}$）
=（an-a）+$\frac{a-{a}^{n}}{{a}^{n+1}}$
=（an-a）（1-$\frac{1}{{a}^{n+1}}$）
=（an-a）•$\frac{{a}^{n+1}-1}{{a}^{n+1}}$，
∵a＞0且a≠1，
∴0＜a＜1或a＞1，
当0＜a＜1时，an-a＜0、an+1-1＜0，
∴an$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）；
当a＞1时，an-a＞0、an+1-1＞0，
∴an$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）；
综上所述，an$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）．
点评 本题考查用比较法证明不等式，作差、变形、定号是一般步骤，注意解题方法的积累，属于中档题．
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20．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在一个周期内的图象如图所示，若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的数解x1、x2，则x1+x2的值为（ ）| A． | $\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}π$ | C． | $\frac{4}{3}π$ | D． | $\frac{π}{3}$或$\frac{4}{3}π$ |