Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，

求k的取值范围；

（Ⅲ）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）见解析

解析:

 (Ⅰ) 设C（x, y）,

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴ .  ∴ .

∴ W:   . …………………………………………… 2分

(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.

     整理，得.         ①………………………… 5分

     因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

     ，解得或.

∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 7分

（Ⅲ）设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),则＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

     由①得.                 ②

     又                ③

     因为，， 所以.……………………… 11分

     所以与共线等价于.

     将②③代入上式，解得.

     所以不存在常数k，使得向量与共线.