题目内容
11．已知函数f（x）=x3-3ax2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，则实数a的取值范围是（-∞，1）．分析 求导f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而转化为极值问题求解即可．
解答 解：∵f（x）=x3-3ax2+4，
∴f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）；
当a=0时，f（x）=x3-3ax2+4在R上是增函数，
故f（x）存在唯一的零点；
当a＜0时，f（x）=x3-3ax2+4在（-∞，2a）上是增函数，
（2a，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
而且f（0）=4，f（x）存在唯一的零点；
当a＞0时，f（x）=x3-3ax2+4在（-∞，0）上是增函数，
（0，2a）上是减函数，在（2a，+∞）上是增函数；
而且f（0）=4，
故只需使f（2a）=8a3-12a3+4＞0，
解得，a＜1；
综上所述，
实数a的取值范围是（-∞，1）．
点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．
练习册系列答案
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（Ⅰ） 求m，n的值；
（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
| 专业 性别 | 中文 | 英语 | 数学 | 体育 |
| 男 | n | 1 | m | 1 |
| 女 | 1 | 1 | 1 | 1 |
（Ⅰ） 求m，n的值；
（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
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20．将$y=sin（2x-\frac{π}{4}）$的图象上所有点向左平移$\frac{π}{4}$后得到y=f（x）的图象，则y=f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值为（ ）
| A． | -1 | B． | $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | 0 | D． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |