Question

1．若数列{a_n}对任意的正整数n都有a_n+λ²=a_n×a_n+2λ成立，则称数列{a_n}为“λ阶梯等比数列”，$\frac{{a}_{n+λ}}{{a}_{n}}$的值称为“阶梯比”，若数列{a_n}是3阶等比数列且a₁=1，a₄=2，则a₂₀₁₄=2⁶⁷¹．

Answer 1

分析 由新定义结合数列{a_n}是3阶等比数列，且a₁=1，a₄=2可得数列{a_n}中的项：a₁，a₄，a₇，…构成以1为首项，以2为公比的等比数列，由等差数列的通项公式得到
a₂₀₁₄是等比数列中的第672项，代入等比数列的通项公式得答案．

解答 解：∵数列{a_n}是3阶等比数列，∴${{a}_{n+3}}^{2}={a}_{n}×{a}_{n+6}$，
由a₁=1，a₄=2，得${a}_{7}=\frac{{{a}_{4}}^{2}}{{a}_{1}}=\frac{4}{1}=4$，
∴数列{a_n}中的项：a₁，a₄，a₇，…构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
由2014=1+3（n-1），解得n=672．
∴a₂₀₁₄是等比数列中的第672项．
则${a}_{2014}=1×{2}^{671}={2}^{671}$．
故答案为：2⁶⁷¹．

点评 本题是新定义题，考查了等比数列的通项公式，关键是对题意的理解，是中档题．