题目内容
【题目】设椭圆:
的离心率与双曲线
的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线交椭圆
于
,
两点,
(
)为椭圆
上一点,求
面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆的离心率与双曲线的离心率
互为倒数,椭圆的长轴
为
及
,求得
的值,进而求得椭圆的方程;(Ⅱ)将直线
与(Ⅰ)求得的椭圆方程联立,利用韦达定理和
,利用弦长公式及点
到直线
的距离,求得
的面积,同时
,进而求得
的面积的最大值.
试题解析:(Ⅰ)双曲线的离心率为(1分),
则椭圆的离心率为(2分), 2a=4, (3分)
由,故椭圆M的方程为
. (5分)
(Ⅱ)由,得
, (6分)
由,得﹣2
<m<2
∵,
. (7分)
∴=
(9分)
又P到AB的距离为. (10分)
则
, (12分)
当且仅当取等号 (13分)
∴. (14分)
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练习册系列答案
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(Ⅰ)求雕刻师当天收入(单位:元)关于雕刻量(单位:粒,
)的函数解析式
;
(Ⅱ)该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量(单位:粒),整理得下表:
雕刻量 | 210 | 230 | 250 | 270 | 300 |
频数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率.
(ⅰ)求该雕刻师这10天的平均收入;
(ⅱ)求该雕刻师当天的收入不低于300元的概率.