Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（2cosθ，2sinθ），0＜θ＜π．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求角θ的大小；
（2）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|，求sinθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线得到方程，然后求出角θ的大小．
（2）利用向量的模相等，得到关系式即可求解结果．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（2cosθ，2sinθ），
$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，可得$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=0，
可得tanθ=$-\sqrt{3}$，0＜θ＜π．
∴θ=$\frac{2π}{3}$．
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|，
可得：$\sqrt{{（-\frac{1}{2}+2cosθ）}^{2}+{（\frac{\sqrt{3}}{2}+2sinθ）}^{2}}$=$\sqrt{{（2cosθ）}^{2}+{（2sinθ）}^{2}}$=2．
${（-\frac{1}{2}+2cosθ）}^{2}+{（\frac{\sqrt{3}}{2}+2sinθ）}^{2}$=4．
可得$\frac{1}{4}$-2cosθ+$\frac{3}{4}$+2$\sqrt{3}$sinθ=0．
即$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=-$\frac{1}{2}$．
sin²θ+cos²θ=1，
可得：4sin²θ+$\sqrt{3}$sinθ-$\frac{3}{4}$=0.0＜θ＜π．
解得sinθ=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查向量共线以及向量的模的求法，三角函数的化简求值，考查计算能力．