Question

10．已知抛物线C；y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，抛物线上的点M（3，y）（y＞0）到焦点的距离|MF|=4
（1）求p和点M的坐标
（2）设点P 为准线上的任意一点，直线m为线段PF的垂直平分线，证明直线m与抛物线C有且只有一个公共点．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得3+$\frac{p}{2}$=4，求得p=2，进而得到抛物线方程，代入M的坐标，可得y，进而得到M的坐标；
（2）由（1）得F（1，0），设P（-1，t），讨论t=0，显然有直线m与抛物线C有且只有一个公共点；当t≠0时，求得PF的斜率，由中点坐标公式和垂直的条件，可得直线m的方程，联立抛物线方程，消去y，运用判别式解得为0，即可证明直线m与抛物线C有且只有一个公共点．

解答 （1）解：抛物线C；y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），准线为l：x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得，|MF|=3+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=2，即有抛物线的方程为y²=4x，
将x=3代入抛物线方程，可得y=2$\sqrt{3}$（负值舍去），
即有p=2，M（3，2$\sqrt{3}$）；
（2）证明：由（1）得F（1，0），设P（-1，t），
当t=0时，直线m：x=0，显然直线m与抛物线C有且只有一个公共点；
当t≠0时，k_PF=-$\frac{t}{2}$，直线m：y=$\frac{2}{t}$x+$\frac{t}{2}$，
代入抛物线方程，可得16x²-8t²x+t⁴=0，则判别式为64t⁴-4×16t⁴=0，
即有方程有两个相等的实数根，则直线m与抛物线C有且只有一个公共点．
综上可得，直线m与抛物线C有且只有一个公共点．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义的运用，同时考查两直线垂直的条件和中点坐标公式，注意联立直线和抛物线方程求交点，属于中档题．