题目内容
19.分析 由题意设出OA所在直线方程,得到OB所在直线方程,联立两直线方程与抛物线方程求得A,B的坐标,得到AB所在直线的斜率,写出AB所在直线方程,求出AB与y轴交点的坐标,把△AOB的面积用含有OA的斜率的代数式表示,然后利用基本不等式求得最小值.
解答 解:△AOB中,A,B是斜边与抛物线的两个交点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线OA斜率为k(k>0),方程为y=kx,
则直线OB斜率为−1k−1k,方程为y=-1kx1kx,
设AB所在直线斜率为k0,
∵A,B在抛物线x2=2py上,
联立{x2=2pyy=kx,解得{x1=2pky1=2pk2,
联立{x2=2pyy=−1kx,解得{x2=−2pky2=2pk2,
k0=y2−y1x2−x1=2pk2−2pk2−2pk−2pk=k2−1k,
∴AB所在直线方程为y−2pk2=k2−1k(x−2pk),
整理得:(k2-1)x-ky+2pk=0.
设AB与y轴交于C(0,yC),令x=0,得:yC=2p,
∴|OC|=2P,
则△AOB面积为S=12|OC||x1−x2|,
则S=12×2p×(2pk+2pk)=2p2(k+1k) ≥2p2×2√k•1k=4p2.
当且仅当k=1k,即k=1时上式等号成立.
∴△AOB面积的最小值为4p2.
点评 本题主要考查了抛物线的应用,平面解析式的基础知识.考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力,考查了计算能力,是中档题.
A. | -i | B. | i | C. | 1-i | D. | 1+i |
A. | (2,0) | B. | (0,2) | C. | (1,0) | D. | (0,1) |
A. | x=-52 | B. | x=-5 | C. | y=-52 | D. | y=-5 |