题目内容

19.已知△AOB是以原点O为直角顶点的抛物线x2=2py(p>0)的内接直角三角形(如图),求△AOB面积的最小值.

分析 由题意设出OA所在直线方程,得到OB所在直线方程,联立两直线方程与抛物线方程求得A,B的坐标,得到AB所在直线的斜率,写出AB所在直线方程,求出AB与y轴交点的坐标,把△AOB的面积用含有OA的斜率的代数式表示,然后利用基本不等式求得最小值.

解答 解:△AOB中,A,B是斜边与抛物线的两个交点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线OA斜率为k(k>0),方程为y=kx,
则直线OB斜率为1k1k,方程为y=-1kx1kx
设AB所在直线斜率为k0
∵A,B在抛物线x2=2py上,
联立{x2=2pyy=kx,解得{x1=2pky1=2pk2
联立{x2=2pyy=1kx,解得{x2=2pky2=2pk2
k0=y2y1x2x1=2pk22pk22pk2pk=k21k
∴AB所在直线方程为y2pk2=k21kx2pk
整理得:(k2-1)x-ky+2pk=0.
设AB与y轴交于C(0,yC),令x=0,得:yC=2p,
∴|OC|=2P,
则△AOB面积为S=12|OC||x1x2|
则S=12×2p×2pk+2pk=2p2k+1k 2p2×2k1k=4p2
当且仅当k=1k,即k=1时上式等号成立.
∴△AOB面积的最小值为4p2

点评 本题主要考查了抛物线的应用,平面解析式的基础知识.考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力,考查了计算能力,是中档题.

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