题目内容
【题目】已知函数.
(1) 若函数在点
处的切线方程为
,求
的值;
(2) 若,求函数
在区间
上的最小值
;
(3) 对任意的,都有
,求正实数
的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 见解析(3)
.
【解析】试题分析:(1)求出导数,由
,即可解得
;(2)求出导函数,令导函数为
求出根,通过讨论根与区间
的关系,判断出函数的单调性,求出函数的极值与区间端点函数值比较,即可得函数的最小值;(3)由题意可得
在
递增.通过构造函数求出导数,结合二次函数的性质,解不等式即可得到
的范围.
试题解析:(1) ,函数
点
处的切线斜率为
,在点
处的切线方程为
,则
,计算得出
;
(2)
,
令得
(舍)或
,
当时,
在
单调递减,在
上单调递增
所以;
当时,
在
上单调递减,所以
.
即有当时,
;
当时,
.
(3)对任意的,都有
,
即为在
递增.
因为,
,
在
恒成立,
即有在
恒成立,即有令
,对称轴
,
,则判别式
,
即,计算得出
.则有
的取值范围为
.
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