Question

【题目】设a，b是不相等的两个正数，且blna﹣alnb=a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2；③ + ＞2．其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由blna﹣alnb=a﹣b，得blna+b=alnb+a，即 = ，设f（x）= ，x＞0，
则f′（x）=﹣ =，
由f′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，
由f′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，
即当x=1时，函数f（x）取得极大值，
则 = ，等价为f（a）=f（b），
则a，b一个大于1，一个小于1，
不妨设0＜a＜1，b＞1．
则a+b﹣ab＞1等价为（a﹣1）（1﹣b）＞0，
∵0＜a＜1，b＞1．∴（a﹣1）（1﹣b）＞0，则a+b﹣ab＞1成立，故①正确，
②由即 = ，
得 = ，
由对数平均不等式得 = ＞ ，
即lna+lnb＞0，即lnab＞0，
则ab＞1，
由均值不等式得a+b2，故②正确，
③令g（x）=﹣xlnx+x，则g′（x）=﹣lnx，
则由g′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，此时g（x）为增函数，
由g′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，此时g（x）为减函数，
再令h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），0＜x＜1，
则h′（x）=g′（x）+g′（2﹣x）=﹣lnx﹣lm（2﹣x）=﹣ln[x（2﹣x）]＞0，
则h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），在0＜x＜1上为增函数，
则h（x）=g（x）﹣g（2﹣x）＜h（1）=0，
则g（x）＜g（2﹣x），
即g（ ）＜g（2﹣ ），
∵g（ ）= ﹣ ln = + lna= = ，
∴g（ ）=g（ ）
则g（ ）=g（ ）＜g（2﹣ ），
∵g（x）在0＜x＜1上为增函数，
∴ ＞2﹣ ，
即 + ＞2．
故③正确，
故选：D
①由blna﹣alnb=a﹣b得 = ，构造函数f（x）= ，x＞0，判断a，b的取值范围即可．
②由对数平均不等式进行证明，
③构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可．