题目内容

选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,
3
)
且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-
π
3
)
,直线l与曲线C相交于A,B两点;
(1)若|AB|≥
13
,求直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)求弦AB最短时直线l的参数方程.
分析:(1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程,圆的圆心C(1,
3
),半径等于 2,再利用利用弦长公式求得圆心到直线的距离 d取值范围,从而得到直线l的倾斜角α的取值范围.
(2)当弦AB最短时,直线l过点P且与CP连线垂直,又利用直线l经过点P(2,
3
)
,且倾斜角α,写出直线的参数方程.
解答:解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-
π
3
)
,即方程ρ2=2ρcosθ+2
3
ρsinθ,
化成直角坐标方程为:x2+y2=2x+2
3
y.
即(x-1)2+(y-
3
2=4.
圆的圆心为C(1,
3
),半径等于 2,
直线l过点P(2,
3
)
且倾斜角为α,直线的普通方程为:y-
3
=tanα(x-2),
即tanα•x-y+
3
-2tanα=0,
圆心到直线的距离:
d=
|tanα•1-
3
+
3
-2tanα|
tan2α+1

|AB|≥
13
,∴d≤
22-(
13
2
)2
=
3
2

|tanα•1-
3
+
3
-2tanα|
tan2α+1
3
2

解得,-
3
≤tanα≤
3

π
3
≤α≤
3

直线l的倾斜角α的取值范围[
π
3
3
];
(2)当弦AB最短时,直线l过点P且与CP连线垂直,
又直线CP的斜率为0,
∴当弦AB最短时,直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴,
∴直线l的参数方程为
x=2
y=t
(t为参数).
点评:本题考查了直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识点,属于中档题.
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