题目内容
选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,
)且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-
),直线l与曲线C相交于A,B两点;
(1)若|AB|≥
,求直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)求弦AB最短时直线l的参数方程.
在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,
3 |
π |
3 |
(1)若|AB|≥
13 |
(2)求弦AB最短时直线l的参数方程.
分析:(1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程,圆的圆心C(1,
),半径等于 2,再利用利用弦长公式求得圆心到直线的距离 d取值范围,从而得到直线l的倾斜角α的取值范围.
(2)当弦AB最短时,直线l过点P且与CP连线垂直,又利用直线l经过点P(2,
),且倾斜角α,写出直线的参数方程.
3 |
(2)当弦AB最短时,直线l过点P且与CP连线垂直,又利用直线l经过点P(2,
3 |
解答:
解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-
),即方程ρ2=2ρcosθ+2
ρsinθ,
化成直角坐标方程为:x2+y2=2x+2
y.
即(x-1)2+(y-
)2=4.
圆的圆心为C(1,
),半径等于 2,
直线l过点P(2,
)且倾斜角为α,直线的普通方程为:y-
=tanα(x-2),
即tanα•x-y+
-2tanα=0,
圆心到直线的距离:
d=
,
∵|AB|≥
,∴d≤
=
,
即
≤
,
解得,-
≤tanα≤
.
∴
≤α≤
直线l的倾斜角α的取值范围[
,
];
(2)当弦AB最短时,直线l过点P且与CP连线垂直,
又直线CP的斜率为0,
∴当弦AB最短时,直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴,
∴直线l的参数方程为
(t为参数).

π |
3 |
3 |
化成直角坐标方程为:x2+y2=2x+2
3 |
即(x-1)2+(y-
3 |
圆的圆心为C(1,
3 |
直线l过点P(2,
3 |
3 |
即tanα•x-y+
3 |
圆心到直线的距离:
d=
|tanα•1-
| ||||
|
∵|AB|≥
13 |
22-(
|
| ||
2 |
即
|tanα•1-
| ||||
|
| ||
2 |
解得,-
3 |
3 |
∴
π |
3 |
2π |
3 |
直线l的倾斜角α的取值范围[
π |
3 |
2π |
3 |
(2)当弦AB最短时,直线l过点P且与CP连线垂直,
又直线CP的斜率为0,
∴当弦AB最短时,直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴,
∴直线l的参数方程为
|
点评:本题考查了直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识点,属于中档题.

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