Question

2．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围$[{\frac{{\sqrt{5}}}{5}，1}]$．

Answer 1

分析 先画出折叠后的图形，根据已知条件可分别以EB，ED，EA三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并可求出图形上一些点的坐标，根据P，Q分别为线段AE、EB上的点，可设P（0，0，z），Q（x，0，0）．这时可由MQ⊥PN得到$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{PN}=0$，从而可得到z=1-2x，从而可以得到PQ的长度|PQ|=$\sqrt{5（x-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$，这时候，根据x，z的范围可求出x的范围，由x的范围即可求出|PQ|的取值范围．

解答 解：如图，由条件知EB，ED，EA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：
E（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），N（2，1，0），D（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）；
P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点；
∴设P（0，0，z），Q（x，0，0），x，z∈[0，2]；
∴$\overrightarrow{MQ}=（x，-1，-1）$，$\overrightarrow{PN}=（2，1，-z）$；
∵MQ⊥PN；
∴$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{PN}=2x-1+z$=0；
∴z=1-2x；
∵x，z∈[0，2]，∴0≤1-2x≤2；
解得$0≤x≤\frac{1}{2}$；
∴$|PQ|=\sqrt{{x}^{2}+{z}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+（1-2x）^{2}}$=$\sqrt{5（x-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$；
∴$x=\frac{2}{5}$时，|PQ|取最小值$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，x=0时，|PQ|取最大值$\sqrt{\frac{4}{5}+\frac{1}{5}}=1$；
∴PQ长度的取值范围为[$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{5}}{5}，1$]．

点评 考查二面角的大小的定义，弄清图形折叠前后的变化，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直的问题的方法，能够确定空间点的坐标，以及配方求函数最值的方法，注意正确确定变量的范围．