Question

若数列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，b₁=b，

an=-2an-1+4bn-1 bn=-5an-1+7bn-1

，（n∈N，n≥2）．请按照要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上．
（1）可考虑利用算法来求a_m，b_m的值，其中m为给定的数据（m≥2，m∈N）．右图算法中，虚线框中所缺的流程，可以为下面A、B、C、D中的

ACD

（请填出全部答案）
A、B、
C、D、

（2）我们可证明当a≠b，5a≠4b时，{a_n-b_n}及{5a_n-4b_n}均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空．
证明：{a_n-b_n}是等比数列，过程如下：a_n-b_n=（-2a_n-1+4b_n-1）+（5a_n-1-7b_n-1）=3a_n-1-3b_n-1=3（a_n-1-b_n-1）
所以{a_n-b_n}是以a₁-b₁=a-b≠0为首项，以

3

为公比的等比数列；
同理{5a_n-4b_n}是以5a₁-4b₁=5a-4b≠0为首项，以

2

为公比的等比数列
（3）若将a_n，b_n写成列向量形式，则存在矩阵A，使

an bn

=A

an-1 bn-1

=A(A

an-2 bn-2

)=A2

an-2 bn-2

=…=An-1

a1 b1

，请回答下面问题：
①写出矩阵A=

-2 4 -5 7

；  ②若矩阵B_n=A+A²+A³+…+Aⁿ，矩阵C_n=PB_nQ，其中矩阵C_n只有一个元素，且该元素为B_n中所有元素的和，请写出满足要求的一组P，Q：

P=

1   1

，Q=

1 1

； ③矩阵C_n中的唯一元素是

2ⁿ⁺²-4

．
计算过程如下：

Answer 1

分析：（1）根据数列{a_n}，{b_n}中的递推关系可知只有B选项不正确，从而得出正确答案；
（2）结合证明过程，根据等比数列的定义知：答案为：3，2；
（3）由于矩阵B_n中所有元素的和等于A，A²，A³，…Aⁿ中所有元素的和的和，于是可先求Aⁿ中四个元素之和．
解法一：由

an bn

=An-1

a1 b1

⇒

an+1 bn+1

=An

a1 b1

，利用问题（2），得出

an+1=(5×2n-4×3n)a+(4×3n-4×2n)b bn+1=(5×2n-5×3n)a+(5×3n-4×2n)b

从而有：Aⁿ中元素之和为2×2ⁿ，最后B_n中所有元素的和即得；
解法二：由

an bn

=An-1

a1 b1

⇒

an+1 bn+1

=An

a1 b1

，可知当a₁=b₁=1时，Aⁿ中元素之和就等于a_n+1+b_n+1，于是由问题（2）可知当a=b=1时a_n-b_n=3（a_n-1-b_n-1）=…=0，即a_n=b_n，于是由a_n=-2a_n-1+4b_n-1=2a_n-1⇒a_n=2^n-1，即得；
解法三：注意到AQ=

-2 4 -5 7

1 1

=

2 2

=2Q，于是AnQ=An-1(AQ)=A^n-1所以PAnQ=P(2n

1 1

)=2n

1&1

1 1

=2n+1于是C_n=2²+2³+…2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-4．

解答：解：（1）根据数列{a_n}，{b_n}中的递推关系可知只有B选项不正确，答案：ACD …（3分）
（2）结合证明过程，根据等比数列的定义知：答案为：
        3    2
（3）答案：A=

-2 4 -5 7

，一组P，Q的值可以为P=

1   1

，Q=

1 1

（满足P=

1 a & 1 a

，Q=

a a

形式即可） 矩阵C_n中唯一元素为2ⁿ⁺²-4．
解：由于矩阵B_n中所有元素的和等于A，A²，A³，…Aⁿ中所有元素的和的和，于是可先求Aⁿ中四个元素之和．
（填空，可利用能进行矩阵运算的计算器大概两分钟可得出A，A²，A³，A⁴，计算和分别为4，8，16，32归纳得出Aⁿ中元素之和为4×2^n-1，但Aⁿ的通项很难归纳得出）
解法一：由

an bn

=An-1

a1 b1

⇒

an+1 bn+1

=An

a1 b1

，利用问题（2），得出

an-bn=(a-b)3n-1 5an-4bn=(5a-4b)2n-1

⇒

an=(5×2n-1-4×3n-1)a+(4×3n-1-4×2n-1)b bn=(5×2n-1-5×3n-1)a+(5×3n-1-4×2n-1)b

于是

an+1=(5×2n-4×3n)a+(4×3n-4×2n)b bn+1=(5×2n-5×3n)a+(5×3n-4×2n)b

所以An=

5×2n-4×3n 4×3n-4×2n 5×2n-5×3n 5×3n-4×2n

，Aⁿ中元素之和为2×2ⁿ，
从而B_n中所有元素的和为2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-4．
解法二：由

an bn

=An-1

a1 b1

⇒

an+1 bn+1

=An

a1 b1

，可知当a₁=b₁=1时，Aⁿ中元素之和就等于a_n+1+b_n+1，于是由问题（2）可知当a=b=1时a_n-b_n=3（a_n-1-b_n-1）=…=0，即a_n=b_n，于是由a_n=-2a_n-1+4b_n-1=2a_n-1⇒a_n=2^n-1，
所以a_n+1+b_n+1=2a_n+1=2×2ⁿ，即Aⁿ的元素之和为2ⁿ⁺¹，从而B_n中所有元素的和为2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-4．
解法三：注意到AQ=

-2 4 -5 7

1 1

=

2 2

=2Q，
于是AnQ=An-1(AQ)=A^n-1
所以PAnQ=P(2n

1 1

)=2n

1&1

1 1

=2n+1
于是C_n=2²+2³+…2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-4
（注：解法三不具有通用性，本题中恰好AQ=2Q，于是运算可进行下去．）
故答案为：ACD；2，3；

-2 4 -5 7

，P=

1   1