Question

（2013•门头沟区一模）如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA=AC=

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AB，则以下结论不正确的是（　　）

A．CB=CP

B．PC?AC=PA?BC

C．PC是圆O的切线

D．BC²=BA?BP

Answer 1

分析：根据AB是圆的直径结合AC=

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AB，得到△ACB中∠B=30°，∠CAB=60°且BC=

3

2

AB．再在△PAC中用余弦定理，计算出PC=

3

AC=

3

2

AB，从而得到BC=PC，可得A、B两项都正确；连接OC，算出∠PCO=90°，可得PC⊥CO，从而PC是圆O的切线，C正确；最后根据切割线定理，结合前面算出的数据得到BC²≠BA•BP，得D不正确．

解答：解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°
又∵AC=

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2

AB，∴∠B=30°，可得∠CAB=60°且BC=

3

2

AB
∵PA=AC=

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2

AB，
∴△PAC用余弦定理，
得PC=

PA2+AC2-2PA•ACcos120°

=

3

AC=

3

2

AB，
即BC=PC，得A正确；
∵PA=AC，BC=PC，∴PC•AC=PA•BC，得B正确；
连接OC，可得
∵等腰△PAC中，∠PCA=30°且等边△ACO中，∠ACO=60°
∴∠OCP=90°，可得PC⊥OC，所以PC是圆O的切线，故C正确；
根据切割线定理，得BC²=PC²=PA•PB≠BA•BP，故D不正确．
故选：D

点评：本题给出圆的切线与经过圆心的割线，判断几个命题的真假，着重考查了圆的切线的判定定理、含有30度角直角三角形的性质、切割线定理和余弦定理等知识，属于中档题．